* 2011年度 組合せ数学セミナー [#k2ce35d4]
-世話人: [[溝口 佳寛:http://imi.kyushu-u.ac.jp/~ym/]]（九大IMI），[[谷口 哲至:http://researchmap.jp/tetsuzit-14/]]（松江高専），三枝崎剛（大分高専）
Organizers:~
[[Yoshihiro Mizoguchi:http://imi.kyushu-u.ac.jp/~ym/]] (Kyushu University),~
[[Tetsuji Taniguchi:http://researchmap.jp/tetsuzit-14/]] (Matsue College of Technology),~
Tsuyoshi Miezaki (Oita National College of Technology)
-アドバイザー: 坂内 英一（上海交通大学／九州大学）
Advisary:~
Eiichi Bannai (Shanhai Jiao Tong University / Kyushu University)
*** 第3回 2011年 9月 3日(土) [#g1f64443]
-場所: 九州大学
[[西新プラザ:http://www.kyushu-u.ac.jp/university/institution-use/nishijin/index.htm]] 中会議室(2F)~
(Location: Meeting Room, [[Nishijin Plaza:http://www.kyushu-u.ac.jp/university/institution-use/nishijin/english.htm]], Kyushu University)
-時間: 13:40-17:20
-講演者: 岩見智宏 (福岡工大)，髙妻倫太郎(立命館アジア太平洋大)，三枝崎剛(大分高専)，谷口 哲至(松江高専)
-&ref(combsem1103.pdf,,,PDFファイル);
-プログラム(Program)
||~講演者(Speaker)|~タイトル(Title)|
|13:40-13:45|>|開会宣言（谷口 哲至）&br; Opening (Tetsuji Taniguchi)|
|13:45-14:35|[[岩見 智宏>#iwami-03]]&br; (Tomohiro Iwami)|亜群による商空間の構成とassociation aschemes&br; (Construction of quotient spaces of groupoids and association schemes)|
|14:45-15:35|[[髙妻 倫太郎>#kozuma-03]]&br; (Rintaro Kozuma)|Cubic surfaces associated to cyclic cubic extensions|
|15:45-16:25|[[三枝崎 剛>#miezaki-03]]&br; (Tsuyoshi Miezaki)|G. Nebe の格子の周辺&br; (Construction of G. Nebe's lattice and related topics)|
|16:35-17:15|[[谷口 哲至>#taniguchi-03]]&br; (Tetsuji Taniguchi)|On fat Hoffman graphs with smallest eigenvalue at least –3|
|17:15-17:20|>|総括（溝口 佳寛）&br; Closing (Yoshihiro Mizoguchi)|
#br
-アブストラクト(Abstract)
***岩見 智宏 (福岡工業大学)[#iwami-03]
Tomohiro Iwami (Fukuoka Institute of Technology)
-タイトル(Title): 亜群による商空間の構成とassociation aschemes~
(Construction of quotient spaces of groupoids and association schemes)
-アブストラクト(Abstract):
Mumford氏のGIT(=Geometric Invariant Theory、幾何学的不変式論)構成によるmoduli空間の構成は、
代数多様体の退化等を調べるほか、代数幾何では重要な道具のひとつであるが、構成された
moduli空間の（位相的）性質等を調べる際には、様々困難がある。
S.Keel(U.Texas),森重文(RIMS)両氏により、19995年頃、GIT構成のような群作用の場合より緩やかな性質を持つ亜群（groupoid）による構成が与えられた。
当時、極小モデル理論の応用としてなされていた一般型代数曲面のmoduliのコンパクト化に際し行われた構成であるが、それ以外への発展を有していると考えられる。
近年、moduliをより一般化したstackや、それに付随する関手を「非可換化」した際に現れるn-stackの研究に際し、
S.Keel,森重文両氏の構成は基本的な役割を果たしているが、一方、従来の特異点理論での特異点の（（半）普遍）変形空間の構成でも、
斎藤恭司氏(IPMU)の原始形式(primitive form)の理論のような周期写像の構成からより広いクラスの特異点についての分類空間を構成したり、
よく知られたような2次元商特異点のBrieskorn, SlodowyによるGrothendieck構成のような（（半）普遍）変形族の構成などの例のように、
より広いクラスの族の構成についても応用が見込まれると考えられる。
特に、前者の斎藤氏の最近の、Chevalley群の（無限系列）に相当する
Chevalley dataを付与した原始形式の構成や、また、後者に関して、最近の並河良典氏(京大)のsymplectic幾何による、
Lie型の場合の（半）普遍）変形族の構成結果から窺えるように、
群より広いクラスのassociation schemesとの関係や、それと亜群によるこのような構成との関連性、
或いはその重要性が期待される。小論では、そのような点を中心に述べたいと考えるが、
まだ十分な結果に至っていないことを予めお断り申し上げる。
（以上）
***髙妻 倫太郎 (立命館アジア太平洋大学 国際経営学部)[#kozuma-03]
Rintaro Kozuma (Ritsumeikan Asia Pacific University)
-タイトル(Title): Cubic surfaces associated to cyclic cubic extensions
-アブストラクト(Abstract):
1980年代，Yu. I. Manin は楕円曲線の群演算の自然な類似として３次曲面（より一般に３次形式）
に対してある種の２項演算を定義し，その代数構造を決定，数論的性質を研究した．
本講演では，代数体の３次巡回拡大のノルムから定義される３次曲面の有理点集合に対して，
Manin とは異なる２項演算を定義し，現在分かっていることについて紹介したい．
とくに，この２項演算は，３次曲面の平面切断により現れる楕円曲線への制限により，
楕円曲線のモーデル・ヴェイユ群の群演算に一致するという性質を持つ．
***三枝崎 剛 (大分工業高等専門学校)[#miezaki-03]
Tsuyoshi Miezaki (Oita National College of Technology)
-タイトル(Title): G. Nebe の格子の周辺~
(Construction of G. Nebe's lattice and related topics)
-アブストラクト(Abstract):
昨年 G.Nebe により構成された、72 次元の extremal even unimodular lattice の構成法及び関連する話題を紹介します。
***谷口哲至 (松江工業高等専門学校)[#taniguchi-03]
Tetsuji Taniguchi (Matsue College of Technology)
-タイトル(Title): On fat Hoffman graphs with smallest eigenvalue at least –3
-アブストラクト(Abstract):
Hoffman graphs are a limiting object of graphs with respect to
the smallest eigenvalue. To understand graphs with smallest
eigenvalue –3, we investigate fat Hoffman graphs with smallest
eigenvalue at least –3, using their special graphs. We show
that the special graph &mimetex(\mathcal{S}(H));
of an indecomposable fat Hoffman graph &mimetex(H);
is represented by the standard lattice or a root lattice.
Moreover, we show that if the special graph admits an integral
representation, that is, the lattice spanned by it is not an
exceptional root lattice, then the
special graph &mimetex(\mathcal{S}^-(H)); is isomorphic to one of the
Dynkin graphs &mimetex(A_n);, &mimetex(D_n);, or extended Dynkin graphs
&mimetex(\tilde{A}_n); or &mimetex(\tilde{D}_n);.
#br
** 第2回 2011年 7月16日(土) [#ic4bc1f5]
-場所: 九州大学
[[伊都キャンパス:http://www.math.kyushu-u.ac.jp/pages/access.html]] 数理棟 3F 中セミナー室7~
(Location: Seminar Room 7, Faculty of Mathematics, Kyushu University ([[Ito Campus:http://www.math.kyushu-u.ac.jp/pages/access.html]]))
-時間: 13:00-17:40
-講演者: 生田卓也(神戸学院大法)，横山俊一(九大数理)，中嶋 康博(熊本県技短)，奥田隆幸(東大数理)，野崎寛(東北大情報)
-&ref(combsem1102.pdf,,,PDFファイル);
-プログラム(Program)
||~講演者(Speaker)|~タイトル(Title)|
|13:00-13:05|>|開会宣言（谷口 哲至）&br; Opening (Tetsuji Taniguchi)|
|13:05-13:45|[[生田 卓也>#ikuta-02]]&br; (Takuya Ikuta)|Nomura algebra of nonsymmetric Hadamard models|
|13:55-14:35|[[横山 俊一>#yokoyama-02]]&br; (Shun'ichi Yokoyama)|Monstrous Moonshine と計算機数論&br; (Monstrous Moonshine and Computational Number Theory)|
|14:45-15:35|[[中嶋 康博>#nakashima-02]]&br; (Yasuhiro Nakashima)|On subcode by intersection of permutation equivalent two codes.|
|15:45-16:35|[[奥田 隆幸>#okuda-02]]&br; (Takayuki Okuda)|一般ランクのコンパクト対称空間における Fisher type bound の類似について&br; (Analogue of the Fisher type bound for compact symmetric spaces of higher rank)|
|16:45-17:35|[[野崎 寛>#nozaki-02]]&br; (Hiroshi Nozaki)|複素球面上の距離集合について&br; (On complex spherical distance sets)|
|17:35-17:40|>|総括（坂内 英一）&br; Closing (Eiichi Bannai)|
#br
-アブストラクト(Abstract)
***生田 卓也 (神戸学院大学法学部)[#ikuta-02]
Takuya Ikuta (Kobe Gakuin University)
-タイトル(Title): Nomura algebra of nonsymmetric Hadamard models
-アブストラクト(Abstract):
Jaeger and Nomura constructed nonsymmetric Hadamard models
for link invariants from Hadamard matrices.
These models are closely related to the Hadamard model originally
constructed by Nomura.
In this talk, we explicitly construct nonsymmetric association schemes
derived from the Hadamard graphs.
Also, we show that the Bose-Mesner algebras of these association schemes
coincide the Nomura algebra
of the nonsymmetric Hadamard models.
This is joint work with Akihiro Munemasa.
***横山 俊一 (九州大学大学院 数理学府)[#yokoyama-02]
Shun'ichi Yokoyama (Kyushu University)
-タイトル(Title): Monstrous Moonshine と計算機数論~
(Monstrous Moonshine and Computational Number Theory)
-アブストラクト(Abstract):
代数的組合せ論の研究においては、多くの点で数論的対象が密接に関わっており、
お互いに symbolic computation を援用しながら性質を調べていくという営みが多く見られる。
今回はその一つの例として、保型関数と Monster 群に纏わる研究について、計算機数論の視点から概説する。
また、本研究においては最近開発が急進展している計算機代数システム Sage が用いられており、これについても紹介する。
***中嶋 康博 (熊本県立技術短期大学校)[#nakashima-02]
Yasuhiro Nakashima (Kumamoto Prefectural Colledge of Technology)
-タイトル(Title): On subcode by intersection of permutation equivalent two codes.
-アブストラクト(Abstract):
2つの符号があり、一方に置換を作用させると他方が得られるとする。
このような2つの符号の共通部分の次元は置換で定まると考えうる。
本講演では標数2の体上の符号について、共通部分の次元と置換の関係を説明し、
これに関連したある条件下の符号についての主張を紹介する。
***奥田 隆幸 （東京大学大学院 数理科学研究科)[#okuda-02]
Takayuki Okuda (The University of Tokyo)
-タイトル(Title): 一般ランクのコンパクト対称空間における Fisher type bound の類似について~
(Analogue of the Fisher type bound for compact symmetric spaces of higher rank)
-アブストラクト(Abstract):
球面上の代数的組合せ論においてよく知られる Fisher type bound は,
球面上のデザインと符号のバウンド, 及びそれらの繋がりを与える意味で重要な定理である.
この定理の一般化を考えたとき, ランク 1 のコンパクト対称空間については,
球面の場合の類似にあたる Fisher type bound が知られている.
ランクが 1 よりも大きなコンパクト対称空間については,
これまで 実グラスマン多様体, 複素グラスマン多様体, ユニタリ群についての研究がなされている.
また, 昨年5月の組合せ数学セミナーでは, コンパクト群をコンパクト対称空間とみなした場合に,
表現論の言葉を用いてデザインと符号に対応する概念を定義することにより,
Fisher type bound が得られることを紹介した.
本講演では, 一般のコンパクト対称空間における Fisher type bound の類似について,
これまでに得られている結果を紹介したい.
***野崎 寛 （東北大学大学院 情報科学研究科）[#nozaki-02]
Hiroshi Nozaki (Tohoku University)
-タイトル(Title): 複素球面上の距離集合について~
(On complex spherical distance sets)
-アブストラクト(Abstract):
Delsarte–Goethals–Seidel (1977)が与えた，実球面上のデザイン，コード，距離集合の理論が，最近，
Roy–Suda (2011)により複素球面へのデザイン，コード，距離集合の理論へと拡張された。
本講演では，複素球面上の2,3距離集合について議論したい。
複素球面上の距離集合と，実球面上の距離集合の関係を紹介し，
小さな次元で，元の個数が最大である複素2,3距離集合の分類を与える。
本研究は，東北大学情報の須田庄氏との共同研究である。
#br
** 第1回 2011年 4月23日(土) [#qa21d35f]
-場所: 九州大学
[[伊都キャンパス:http://www.math.kyushu-u.ac.jp/pages/access.html]] 数理棟 3F 中セミナー室7~
(Location: Seminar Room 7, Faculty of Mathematics, Kyushu University ([[Ito Campus:http://www.math.kyushu-u.ac.jp/pages/access.html]]))
-時間: 13:00-17:20
//-講演者: 坂下一生(九大数理)，野崎寛(東北大情報)，栗原大武(東北大理)，Kirill Morozov(九大IMI)，Xavier Dahan(九大数理)
-&ref(combsem1101.pdf,,,PDFファイル);
-プログラム(Program)
||~講演者(Speaker)|~タイトル(Title)|
|13:00-13:05|>|開会宣言（谷口 哲至）&br; Opening (Tetsuji Taniguchi)|
|13:05-13:45|[[Xavier Dahan>#dahan-01]]|Ramanujan graphs of very large girth based on octonions|
|13:55-14:35|[[Kirill Morozov>#morozov-01]]|Introduction to code-based public key encryption.|
|14:45-15:35|[[野崎 寛>#nozaki-01]]&br; (Hiroshi Nozaki)|グラフの埋め込みから得られる2距離集合について&br; (Euclidean representations of a graph as two-distance sets.)|
|15:45-16:25|[[栗原 大武>#kurihara-01]]&br; (Hirotake Kurihara)|excessとアソシエーションスキームについて&br; (On excesses and association schemes)|
|16:35-17:15|[[坂下 一生>#sakashita-01]]&br; (Issei Sakashita)|Introduction to Coq Proof Assistant System.|
|17:15-17:20|>|総括（溝口 佳寛）&br; Closing (Yoshihiro Mizoguchi)|
#br
-アブストラクト(Abstract)
***Xavier Dahan （九州大学大学院 数理学研究院）[#dahan-01]
Xavier Dahan (Kyushu University)
-タイトル(Title): Ramanujan graphs of very large girth based on octonions
-アブストラクト(Abstract):
(J-P Tillichとの共同研究 : [[arXiv:1011.2642>http://arxiv.org/abs/1011.2642]])~
In a celebrated 1988's article, Lubotzky-Philipps-Sarnak
introduced the notion
of "Ramanujan graphs". They are defined as regular, undirected,
connected graphs
whose spectral gap reaches the Alon-Boppana's bound. These graphs had a
huge impact
mainly because they are then good "expander" graphs (highly connected
while sparse graphs).
They also hold interesting combinatorial properties : they have a large
girth,
a small diameter, a large chromatic number. These properties are very
hard to achieve simultaneously !
Indeed, since 1988, despite numerous efforts, no other construction has
improved these results.
We will present a new construction of Ramanujan graphs, that
significantly improve these properties.
***Kirill Morozov （九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所）[#morozov-01]
Kirill Morozov (Kyushu University)
-タイトル(Title): Introduction to code-based public key encryption.
-アブストラクト(Abstract):
In this talk, we will present two code-based public-key encryption (PKE) schemes:
the McEliece PKE and its dual, the Niederreiter PKE.
We will discuss underlying computational problems,
review basic attacks, and provide some evidences why these schemes are believed to be "oneway" (OW)
— a very basic and intuitive security notion.
Next, we will present a simple trick which will upgrade these schemes in order to achieve "semantic security"
(also known as "security against chosen plaintext attack")
— another basic notion,
which is believed to be a minimal requirement for security of modern PKE.
This talk is targeted at a general mathematical audience.
***野崎 寛 （東北大学大学院 情報学研究科）[#nozaki-01]
Hiroshi Nozaki (Tohoku University)
-タイトル(Title): グラフの埋め込みから得られる2距離集合について~
(Euclidean representations of a graph as two-distance sets.)
-アブストラクト(Abstract):
ユークリッド空間上の有限個の点の集合 '''X''' で，異なる2点間のユークリッド距離の集合（&mimetex{A(X)=\{d(x,y)|x,y \in X, x \ne y\}};）のサイズが2であるものを2距離集合と呼んでいる。
例えば，&mimetex{\mathbb{R}^2}; 上の正方形の頂点集合は，辺と対角線にあたる2つの距離があるため，2距離集合である。
'''X''' を頂点集合とし，短い距離を持つ2点を辺で結べば，そこにはグラフの構造を入れることが出来る。
逆に単純グラフを与えたときに，グラフの構造を持つ2距離集合として，何次元の空間に実現できるかが最近Roy(2010)により示された。
本講演では，グラフの2距離集合としての埋め込みについて，Einhorn–Schoenberg(1966), Roy(2010)などの結果を紹介し，新しい結果として，その埋め込みがいつ球面に乗るかを議論したい。
さらに時間が許せば，埋め込みから得られる強正則グラフの新しい特徴づけも紹介する。~
（篠原雅史氏との共同研究）
***栗原 大武 （東北大学大学院 理学研究科）[#kurihara-01]
Hirotake Kurihara (Tohoku University)
-タイトル(Title): excessとアソシエーションスキームについて~
(On excesses and association schemes)
-アブストラクト(Abstract):
&mimetex{\Gamma=(X,E)}; を直径 '''d''' の連結な正則グラフとし，
頂点 '''x''' から距離 '''d''' の位置にある点の個数を '''x''' の excess と呼び &mimetex{k_d(x)}; であらわす．
excess theorem とは，
excess の平均値 &mimetex{\frac{1}{|X|}\sum_{x\in X}k_d(x)}; が，
グラフの固有値とその重複度によって決まる定数で上から抑えられ，
更にその等号が成立する為の必要十分条件が，
このグラフが距離正則グラフになるということである．
つまり，グラフの隣接関係を用いたアソシエーションスキームの構造が入るかどうかを調べるには，
グラフの excess を見ればよい．
本講演では，栗原–野崎によって得られた '''P''' 多項式スキームの同値条件を excess theorem の立場から紹介する．
更に，グラフの代数的に双対な概念にあたる多項式空間に対してある不等式を与え，
その不等式の等号成立と多項式空間が '''Q''' 多項式スキームになることが同値であること
（つまり多項式空間に対する excess theorem）について述べる．
***坂下 一生 （九州大学大学院 数理学府）[#sakashita-01]
Issei Sakashita (Kyushu University)
-タイトル(Title): Introduction to Coq Proof Assistant System.
-アブストラクト(Abstract):
Coq は INRIA によって開発されたコンピュータ上で数学の証明を行うソフトウェアです。
この Coq は４色問題の完全な形式的証明が記述され, 検証出来ることでも知られています。
今回はこの Coq を使って簡単な問題を証明と検証を行うことで基本的な使い方とその可能性をご紹介したいと思います。
