過去のセミナー/2011年度の履歴(No.6)

2011年度組合せ数学セミナー†

世話人: 溝口佳寛（九大IMI），谷口哲至（松江高専），三枝崎剛（大分高専）
アドバイザー: 坂内英一（上海交通大学／九州大学）

第1回 2011年 4月23日(土)†

場所: 九州大学伊都キャンパス数理棟 3F 中セミナー室7
時間: 未定

	Xavier Dahan	Ramanujan graphs of very large girth based on octonions
	Kirill Morozov	Introduction to code-based public key encryption.
	野崎寛	グラフの埋め込みから得られる2距離集合について
	栗原大武	excessとアソシエーションスキームについて
	坂下一生	Introduction to Coq Proof Assistant System.

アブストラクト

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Xavier Dahan （九州大学大学院数理学研究院）†

タイトル: Ramanujan graphs of very large girth based on octonions
アブストラクト:

(J-P Tillichとの共同研究 : arXiv:1011.2642)
In a celebrated 1988's article, Lubotzky-Philipps-Sarnak introduced the notion of "Ramanujan graphs". They are defined as regular, undirected, connected graphs whose spectral gap reaches the Alon-Boppana's bound. These graphs had a huge impact mainly because they are then good "expander" graphs (highly connected while sparse graphs). They also hold interesting combinatorial properties : they have a large girth, a small diameter, a large chromatic number. These properties are very hard to achieve simultaneously ! Indeed, since 1988, despite numerous efforts, no other construction has improved these results. We will present a new construction of Ramanujan graphs, that significantly improve these properties.

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Kirill Morozov （九州大学マス・フォア・インダストリ研究所）†

タイトル: Introduction to code-based public key encryption.
アブストラクト:

In this talk, we will present two code-based public-key encryption (PKE) schemes: the McEliece PKE and its dual, the Niederreiter PKE. We will discuss underlying computational problems, review basic attacks, and provide some evidences why these schemes are believed to be "oneway" (OW) — a very basic and intuitive security notion. Next, we will present a simple trick which will upgrade these schemes in order to achieve "semantic security" (also known as "security against chosen plaintext attack") — another basic notion, which is believed to be a minimal requirement for security of modern PKE. This talk is targeted at a general mathematical audience.

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野崎寛（東北大学大学院情報学研究科）†

タイトル: グラフの埋め込みから得られる2距離集合について
(Euclidean representations of a graph as two-distance sets.)
アブストラクト:

ユークリッド空間上の有限個の点の集合 X で，異なる2点間のユークリッド距離の集合（ $A(X)=\{d(x,y)|x,y \in X, x \ne y\}$ ）のサイズが2であるものを2距離集合と呼んでいる。例えば， $\mathbb{R}^2$ 上の正方形の頂点集合は，辺と対角線にあたる2つの距離があるため，2距離集合である。 X を頂点集合とし，短い距離を持つ2点を辺で結べば，そこにはグラフの構造を入れることが出来る。逆に単純グラフを与えたときに，グラフの構造を持つ2距離集合として，何次元の空間に実現できるかが最近Roy(2010)により示された。本講演では，グラフの2距離集合としての埋め込みについて，Einhorn–Schoenberg(1966), Roy(2010)などの結果を紹介し，新しい結果として，その埋め込みがいつ球面に乗るかを議論したい。さらに時間が許せば，埋め込みから得られる強正則グラフの新しい特徴づけも紹介する。
（篠原雅史氏との共同研究）

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栗原大武（東北大学大学院理学研究科）†

タイトル: excessとアソシエーションスキームについて
(On excesses and association schemes)
アブストラクト:

$\Gamma=(X,E)$ を直径 d の連結な正則グラフとし，頂点 x から距離 d の位置にある点の個数を x の excess と呼び $k_d(x)$ であらわす． excess theorem とは， excess の平均値 $\frac{1}{|X|}\sum_{x\in X}k_d(x)$ が，グラフの固有値とその重複度によって決まる定数で上から抑えられ，更にその等号が成立する為の必要十分条件が，このグラフが距離正則グラフになるということである．つまり，グラフの隣接関係を用いたアソシエーションスキームの構造が入るかどうかを調べるには，グラフの excess を見ればよい．

本講演では，栗原–野崎によって得られた P 多項式スキームの同値条件を excess theorem の立場から紹介する．更に，グラフの代数的に双対な概念にあたる多項式空間に対してある不等式を与え，その不等式の等号成立と多項式空間が Q 多項式スキームになることが同値であること（つまり多項式空間に対する excess theorem）について述べる．

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坂下一生（九州大学大学院数理学府）†

タイトル: Introduction to Coq Proof Assistant System.
アブストラクト:

Coq は INRIA によって開発されたコンピュータ上で数学の証明を行うソフトウェアです。この Coq は４色問題を証明したことでも知られています。今回はこの Coq を使って簡単な問題を証明することで基本的な使い方とその可能性をご紹介したいと思います。

過去のセミナー/2011年度 の履歴(No.6)

2011年度 組合せ数学セミナー†

第1回 2011年 4月23日(土)†

Xavier Dahan （九州大学大学院 数理学研究院）†

Kirill Morozov （九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所）†

野崎 寛 （東北大学大学院 情報学研究科）†

栗原 大武 （東北大学大学院 理学研究科）†